Serie numeriche (esercizi svolti)

Esercizio 1

Applicando la definizione di convergenza di una serie stabilire il carattere delle seguenti serie, e in caso di convergenza, trovarne la somma.

\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{2}{n^2+2n}\)

Per quanto riguarda il primo esercizio, applichiamo il metodo di risoluzione delle serie telescopiche. Scomponiamo \(\dfrac{2}{n^2+2n}\) come somma di due funzioni (usiamo il metodo di decomposizione in fratti semplici):

\(\dfrac{2}{n^2+2n}=\dfrac{2}{n(n+2)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\)

Dunque:

\(S_1=a_1=1-\dfrac{1}{3}\)

\(S_2=a_1+a_2=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)

\(S_3=a_1+a_2+a_3=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\)

\(S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\right)=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\)

\(S_n=a_1+a_2+…+a_n=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\)

poiché: \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}S_n=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\) la serie converge e la somma è: \(\dfrac{3}{2}\)

Esercizio 2

Applicando la definizione di convergenza di una serie stabilire il carattere delle seguenti serie, e in caso di convergenza, trovarne la somma.

\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}\)

\(a_n=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}-\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Dunque:

\(S_1=a_1=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(S_2=a_1+a_2=\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(S_3=a_1+a_2+a_3=\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{4}}\right)=1+\dfrac{1}{\sqrt{4}}\)

\(S_n=a_1+a_2+…+a_n=1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)

poiché: \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}S_n=1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=1\) la serie converge e la somma è: 1.

Esercizio 3

Verificare (utilizzando la condizione necessaria per la convergenza) che le seguenti serie non convergono.

\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}(-1)^n\dfrac{n}{n+1}\)

calcoliamo quindi il limite tendente ad infinito:

\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}(-1)^n\dfrac{n}{n+1}\)

purtroppo tale limite non esiste, dunque non è zero. Pertanto la serie non converge.

Esercizio 4

\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{1}{\sqrt[n]{n}}\)

calcoliamo quindi il limite tendente ad infinito:

\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}\dfrac{1}{\sqrt[n]{n}}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}n^{-\frac{1}{n}}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}e^{-\frac{1}{n}\log n}=1\)

essendo: \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}\dfrac{\log n}{n}=0\)

Dunque \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}a_n=1\neq 0\) e la serie non converge (ovvero diverge a \(+\infty\), in quanto è a termini positivi).

Esercizio 5

\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}(-1)^n\dfrac{1}{\log \left(1+\dfrac{1}{n}\right)}\)

poiché \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}\dfrac{1}{\log \left(1+\dfrac{1}{n}\right)}=\dfrac{1}{\log (1)}=+\infty\)

la serie non converge ma diverge a \(+\infty\) perché \(\forall n\in \mathbb{N},\;\log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)>0\)

Esercizio 6

\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\sin n\)

In questo caso poiché non esiste il limite: \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}\sin n\) la serie non converge.

Esercizio 7

Utilizzando la serie geometrica, discutere il comportamento della seguente serie e calcolarne la somma.

\(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}}\dfrac{2^n+3^n}{5^n}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}}\left[\left(\dfrac{2}{5}\right)^n+\left(\dfrac{3}{5}\right)^n\right]=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}}\left(\dfrac{2}{5}\right)^n+\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}}\left(\dfrac{3}{5}\right)^n\)

Si tratta della somma di due serie geometriche entrambe convergenti (con ragione minore di 1). Dunque la serie iniziale converge alla somma delle due.

\(S_1=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}}\left(\dfrac{2}{5}\right)^n=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{5}}=\dfrac{5}{3}\)

\(S_2=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}}\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=\dfrac{1}{1-\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{2}\)

\(S=S_1+S_2=\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{6}\)

Esercizio 8

\(\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} \dfrac{n^2}{3^n}\)

Risolvo la serie utilizzando il criterio del rapporto: \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)

\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}\dfrac{(n+1)^2}{3^{n+1}}\dfrac{3^n}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{(n+1)^2}{n^2}\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}<1\)

Dunque la serie converge.

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