-
Per quanto riguarda il primo esercizio, applichiamo il metodo di risoluzione delle serie telescopiche. Scomponiamo \(\dfrac{2}{n^2+2n}\) come somma di due funzioni (usiamo il metodo di decomposizione in fratti semplici):
\(\dfrac{2}{n^2+2n}=\dfrac{2}{n(n+2)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\)
Dunque:
\(S_1=a_1=1-\dfrac{1}{3}\)
\(S_2=a_1+a_2=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)
\(S_3=a_1+a_2+a_3=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\)
\(S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\right)=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\)
\(S_n=a_1+a_2+…+a_n=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\)
poiché: \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}S_n=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\) la serie converge e la somma è: \(\dfrac{3}{2}\)
per quanto riguarda il secondo invece…
\(a_n=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}-\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Dunque:
\(S_1=a_1=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(S_2=a_1+a_2=\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(S_3=a_1+a_2+a_3=\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{4}}\right)=1+\dfrac{1}{\sqrt{4}}\)
\(S_n=a_1+a_2+…+a_n=1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)
poiché: \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}S_n=1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=1\) la serie converge e la somma è: 1.