Teorema di Michail Ostrogradskij (curiosità dal mondo della Matematica)

[decarlocarolis]

Mi permetto di parlarvi di una delle leggi della Fisica-Matematica che in campo automotive, soprattutto applicata ai motori, viene usata come il pane. Ovvero il Teorema della Divergenza, detto anche Teorema di Michail Ostrogradskij.

\[\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{V} \textrm{div} \vec{v} dV= \int\!\!\!\int_{\sigma} \vec{v}\cdot\vec{n} d\sigma\]

Anche se questa formula può sembrare solo un insieme di curve, di simboli e di lettere senza senso, volevo sottolineare e condividere con voi uno degli aspetti meravigliosi di questa legge. Ovvero, non tutti sanno (eccetto coloro che lavorano in campo automotive) che per migliorare ad esempio la turbolenza all’interno del cilindro, ovvero lo Squish, il Tumble o lo Swirl si usa il Teorema della Divergenza.

Ovviamente non ci si mette con carta e penna a fare i conti perchè ci vorrebbero giorni interi per arrivare a dei risultati attendibili; ora si usano software sopraffini tipo il Computational Fluid Dynamics (CFD): in esso sono presenti la suddetta legge come le leggi fondamentali della fluidodinamica (per citarne una tra le tante: le Equazioni di Navier-Stokes). Inoltre, il sound della marmitta con l’analisi dei flussi dei gas di scarico, unita al tipo di materiale che si vuole adottare per la stessa, è regolamentato dal Teorema della Divergenza (sotto le vesti dell’analisi CFD).

Ma anche la geometria della turbina (sia il lato “freddo” che quello “caldo”), su come aspirare l’aria o i gas esausti di scarico viene regolamentato da equazioni laddove è presente il Teorema della Divergenza. Lo stesso dicasi per la forma dell’Air-Box, dei collettori o dei manicotti è tutto vincolato dal Teorema della Divergenza. Ovviamente, quando andate a comprare un nuovo manicotto, oppure cambiate lo scarico o meglio ancora la turbina non vi viene chiesta la conoscenza del Teorema della Divergenza ma le specifiche che desiderate avere. Sappiate però, che tutto quello che voi comprate, dove passa un liquido oppure un gas, è regolamentato da equazioni complesse ma al contempo meravigliose come la suddetta.

Considerate che la suindicata appartiene, a mio parere, ad una delle leggi più belle ed eleganti della Fisica-Matematica.

[dodeca55]

Sì, insieme al teorema di Stokes si utilizza per riscrivere le leggi di conservazione della massa, della quantità di moto (equazione di Navier-Stokes), dell’energia, campi di temperatura, pressione e composizione.

In pratica semplifichi perché passi da un integrale di volume ad uno di superficie, ciò permette anche di calcolare la portanza con la teoria del vortice libero.

“div v” è la divergenza della velocità della flusso che non è altro che la somma delle derivate delle sue componenti rispetto alle rispettive direzioni… in altre parole misura di quanto varia la velocità da punto a punto. Se la integri per il volume considerato… cioè facendo la sommatoria per tutte le singole particelle di fluido, ecco che ottieni un valore della tendenza del fluido ad accumularsi o ad uscire da quel volume.

L’equazione dice che questo primo termine, che è il più difficile da spiegare, è uguale al secondo che rappresenta la portata entrante o uscente dal volume attraverso la superficie che lo racchiude.

È un risultato puramente matematico ma che permette di passare da un integrale di superficie ad uno di volume… e dato che nelle equazioni di fluidodinamica, la maggior parte dei termini è caratterizzata da integrali di volume, questo risultato permette di risolvere le equazioni del flusso.

Un esempio semplice per capirne il significato fisico: se prendi un tubo in cui fluisce dell’aria, quindi un volume finito con una superficie di ingresso e una di uscita, la divergenza rappresenta il flusso netto uscente attraverso quelle superfici.

Nel moto a regime la div v=0 ossia tot m3/s entrano e tot escono. Se div v>0 allora il flusso uscente sarà maggiore di quello entrante. Questo significa che la massa contenuta nel tubo diminuisce, in questo modo puoi calcolare per esempio la diminuzione di pressione all’interno del tubo.