Equazioni, Monomi e Polinomi

In Matematica, le equazioni sono delle uguaglianze tra monomi o polinomi, per le quali lo scopo è quello di cercare il valore numerico di una o più variabile letterale, detta incognita (ad esempio: \(x\)), che verifica (ossia rende vera) tale uguaglianza. Tale valore è chiamato soluzione o radice dell’equazione.

Si definisce monomio come un’espressione algebrica letterale, costituita da una parte numerica (coefficiente) e da una parte letterale tra le quali compaiono solamente operazioni di moltiplicazione ed elevamento a potenza; ad esempio:

\[\dfrac{1}{2}x;\;7x^2y;\;-9x^n\]

Si definisce grado del monomio la somma di tutti gli esponenti della parte letterale. Monomi che hanno la stessa parte letterale (con identico esponente) si dicono simili, e tra questi, sono consentite solamente le operazioni algebriche di somma e differenza; sono invece sempre consentite le operazioni di moltiplicazione e divisione anche tra monomi i cui esponenti della parte letterale risultano essere non uguali (ma aventi sempre parte letterale uguale).

Si definisce, invece, polinomio la somma algebrica di monomi. I monomi che compongono un polinomio si dicono termini del polinomio.

Le equazioni possono essere:

  • intere: se l’incognita è presente solamente a numeratore;
  • fratte: se l’incognita è presente anche al denominatore;
  • determinate: se possiedono soluzioni in numero finito;
  • indeterminate: se possiedono soluzioni in numero infinito;
  • impossibili: se non possiedono alcuna soluzione.

Con il termine identità si definisce una uguaglianza tra espressioni letterali (monomi o polinomi), la quale risulta essere verificata per ogni valore numerico assegnato alle variabili letterali.

Equazioni di secondo grado in una incognita

Data \(ax^2+bx+c=0\) si ricavano le due soluzioni dell’equazione applicando la seguente formula:

\[x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2+2ac}}{2a}\]

Prodotti notevoli

I prodotti notevoli si utilizzano in Algebra per il calcolo letterale del prodotto tra polinomi. Si dicono notevoli, perché il prodotto tra alcuni particolari polinomi giunge sempre allo stesso risultato.

Per questo motivo è possibile evitare, per questi particolari polinomi, lo svolgimento di tutti i passaggi di calcolo del prodotto, e scrivere dunque, direttamente il risultato così come stabilito dai prodotti notevoli.

Somma per differenza

Quando sussiste il prodotto tra due binomi simili in cui uno dei due presenta l’operatore di somma, mentre l’altro l’operatore sottrazione, il risultato è un binomio costituito dalla differenza fra il quadrato del primo monomio ed il quadrato del secondo:

\[(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\]

È possibile trovare questo caso di prodotto notevole, anche con delle potenze, ma lo svolgimento di calcolo non cambia:

\[(a+b)^{3}(a-b)^{3}=(a^{2}-b^{2})^{3}\]

La potenza rimane invariata e viene racchiusa tra parentesi nel prodotto notevole svolto. Quindi si applica il cubo del binomio e si risolve l’espressione come segue:

\[(a^{2}-b^{2})^{3}=a^{6}-3a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{4}-b^{6}\]

Quadrato di un binomio

Il quadrato di un binomio risulta essere un trinomio avente come termini il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo e il quadrato del secondo:

\[(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\]

\[(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\]

Quadrato di un trinomio

Il quadrato di un trinomio risulta essere un polinomio avente come termini i quadrati dei tre termini del trinomio ed il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue:

\[(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac\]

\[(a-b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc+2ac\]

Cubo di un binomio

Il cubo di un binomio risulta essere un quadrinomio avente come termini il cubo del primo termine, il triplo del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo del primo termine per il quadrato del secondo, il cubo del secondo termine:

\[(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\]

\[(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\]

Somma e differenza tra cubi

\[a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\]

\[a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\]

Potenza n-esima di un binomio

Per il calcolo della potenza n-esima di un binomio ci si avvale di due strumenti; il primo è la formula qui di seguito (detta anche teorema binomiale), ed il secondo è il Triangolo di Tartaglia (o di Pascal).

\[(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}a^{(n-k)}b^{k}\]

Dimostrazione:

\[\begin{align*}
(a+b)^{4} & =\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}a^{4-k}b^{k}=\binom{4}{0}a^{4-0}b^{0}+\\
& +\binom{4}{1}a^{4-1}b^{1}+\binom{4}{2}a^{4-2}b^{2}+\\
& +\binom{4}{3}a^{4-3}b^{3}+\binom{4}{4}a^{4-4}b^{4}=\\
& =a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}
\end{align*}\]

Lascia un commento