Analisi Matematica

L’analisi matematica è il ramo della matematica che si fonda sul calcolo infinitesimale, con il quale, attraverso le nozioni di limite e continuità, studia il comportamento locale di una funzione utilizzando gli strumenti del calcolo differenziale e del calcolo integrale.

  1. Nozioni di logica matematica. Concetti e proprietà di proposizione, predicato, connettivi e relative tavole di verità, quantificatori; il significato delle principali tecniche per dimostrare proprietà o teoremi (dimostrazioni dirette, per assurdo, per induzione; controesempi). Il Principio di induzione.
  2. Nozioni di insiemistica. Concetti e proprietà di appartenenza, inclusione, unione, intersezione, differenza, complementazione, prodotto cartesiano.
  3. Insiemi numerici. Le proprietà strutturali di campo ordinato dell’insieme dei numeri razionali. Definizione di numero reale e struttura di campo ordinato dell’insieme dei numeri reali; la proprietà di completezza dell’insieme dei numeri reali e i concetti di estremo superiore, di estremo inferiore, di massimo e di minimo. Definizione di insieme dei numeri complessi e sua struttura di campo, l’inclusione dei reali nei complessi, forma cartesiana e forma polare, coniugazione, formule di De Moivre del prodotto e del quoziente, radice n-esima complessa, teorema fondamentale dell’Algebra (enunciato), trasformazioni nel piano di Gauss (traslazioni, rotazioni, omotetie, …).
  4. Funzioni. I concetti di funzione, dominio, codominio, immagine e grafico; i concetti di uguaglianza e restrizione di una funzione; l’operazione di composizione e le sue proprietà; la proprietà di iniettività e il suo legame con la funzione inversa; la corrispondenza biunivoca tra insiemi. Insiemi equipotenti, potenza di un insieme; insieme finito e insieme infinito; insieme numerabile; numerabilità dei razionali; insiemi continui.
  5. Funzioni reali di una variabile reale. I grafici delle funzioni fondamentali (potenze, radicali, esponenziali, logaritmi, trigonometriche, trigonometriche inverse, modulo, …); trasformazioni di grafici (traslazioni orizzontali e verticali; dilatazioni e riflessioni orizzontali e verticali; …); simmetrie (pari, dispari, periodicità). L’algebra delle funzioni, la nozione di monotonia e gli estremi di una funzione.
  6. Elementi di topologia. Il concetto di intorno di un numero reale; intorni unilateri (destro e sinistro) e intorni di ±∞. Le definizioni e le proprietà di: punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, e di parte interna, frontiera, chiusura, derivato di un insieme di numeri reali. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Il Teorema di Bolzano-Weierstrass.
  7. Limiti. Concetto, definizione metrica e interpretazione geometrica di limite (finito e infinito; al finito, unilatero, all’infinito; per eccesso e per difetto); definizione topologica di limite. Unicità del limite; permanenza del segno; confronto di limiti; esistenza del limite per funzioni monotòne (teorema di monotonia). Calcolo dei limiti: regole algebriche (somma, prodotto, quoziente), cambiamento di variabile (teorema del limite della funzione composta); forme di indecisione; limiti fondamentali e limiti notevoli da essi dedotti. Le definizioni di: funzione continua (da destra, da sinistra), punto di discontinuità (salto; eliminabile), asintoti (orizzontale e verticale). Continuità di: somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue.
  8. Successioni reali. Successioni monotòne; successioni limitate; limite di una successione (successioni convergenti, divergenti, indeterminate); teorema di monotonia per le successioni; il numero “e”. Limiti sequenziali, classe limite, massimo e minimo limite di una funzione. Sottosuccessioni e teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni. Successioni fondamentali e completezza; criterio di convergenza di Cauchy. Successioni definite per ricorrenza.
  9. Infinitesimi ed infiniti. Confronto, ordine, simboli di “uguaglianza asintotica” e di “rapporto infinitesimo” e loro proprietà. Sviluppi asintotici nell’intorno di un punto: definizione, sviluppi notevoli. Applicazioni: calcolo di limiti, asintoto obliquo, studio asintotico del grafico di una funzione.
  10. Funzioni continue. I teoremi fondamentali sulle funzioni continue in un intervallo: teorema di Weierstrass; teorema degli zeri: teorema dei valori intermedi; teorema della funzione inversa. Continuità uniforme: definizione e criteri; applicazione: errori di misura di grandezze legate da una legge deterministica.
  11. Funzioni derivabili. I concetti di funzione derivabile e di derivata (destra, sinistra), equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto, legame tra derivabilità e continuità, la funzione derivata e le sue discontinuità (flessi verticali, cuspidi, semicuspidi, punti angolosi), le derivate successive e gli spazi funzionali delle funzioni derivabili n volte o indefinitamente derivabili. Le derivate notevoli e le regole di derivazione; i teoremi del valore medio di Lagrange e di Cauchy; il concetto e il significato geometrico di differenziale; flessione, raggio di curvatura e cerchio osculatore in un punto di un grafico.
  12. Applicazioni delle derivate. Regola di De L’Hôpital; test di monotonia per funzioni derivabili; funzioni convesse/concave e test delle corde; test di convessità/concavità per funzioni derivabili o derivabili due volte; estremi locali e relativi test di riconoscimento per funzioni derivabili; test della derivata seconda per gli estremi interni; flessi e relativo test di riconoscimento per funzioni derivabili due volte; test della derivata terza per i flessi. Approssimazione di funzioni con polinomi: sviluppi di Taylor (resti di Peano e di Lagrange); sviluppi notevoli.
  13. Antiderivazione. Teorema della derivata nulla; primitive e loro non unicità. L’integrale indefinito, l’operatore lineare di integrazione (o antiderivazione), integrali notevoli, regole di integrazione per parti o per sostituzione.
  14. Integrale definito. Concetto di integrale definito e sua interpretazione geometrica; integrabilità delle funzioni continue o generalmente continue; proprietà dell’integrale (linearità, additività, monotonia); media integrale e teorema della media integrale per funzioni continue; la funzione integrale e il teorema fondamentale del Calcolo; esistenza delle primitive di una funzione continua e regola di calcolo dell’integrale tramite variazione di una di esse. Le primitive non elementari.
  15. Integrale improprio. Il concetto di integrale improprio (nei due casi di intervallo non limitato o di integranda non limitata) e i test di convergenza (del confronto; del confronto asintotico; della convergenza assoluta).
  16. Serie numeriche. Concetto di serie numerica, carattere di una serie, convergenza semplice ed assoluta, criteri di convergenza (generali, per serie a termini positivi, per serie a segni alterni), approssimazione della somma di una serie ed errore di troncamento; operazioni sulle serie: somma, prodotto, riordinamento. Serie geometrica e serie esponenziale. Serie a termini complessi, formula di Eulero. Forma esponenziale dei numeri complessi.
  17. Serie di potenze e serie di Taylor. Raggio di convergenza e relative formule di calcolo; la funzione “somma” e le sue proprietà (continuità; derivabilità); teorema di Abel; principio di identità. Derivazione e integrazione per serie. Funzione generatrice di una serie di Taylor; funzione sviluppabile in un punto; funzione analitica in un intervallo. Serie di Mac Laurin notevoli.
  18. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Limiti e continuità di funzioni di due o più variabili; derivate parziali e direzionali, gradiente; concetto di differenziabilità, piano tangente; derivate e differenziali di funzioni composte; derivate e differenziali di ordine superiore, hessiano; formula di Taylor;  punti stazionari e classificazione; estremi liberi di funzioni di più  variabili. Funzioni a valori vettoriali, matrice Jacobiana, teorema di inversione locale. Curve e superfici in forma parametrica. Trasformazioni di coordinate. Campi vettoriali. Integrali curvilinei di forme differenziali. Forme esatte e campi conservativi. Funzioni implicite. Estremi vincolati.
  19. Equazioni differenziali. Equazioni e sistemi del primo ordine: problema di Cauchy, esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati. Metodi di integrazione. Equazioni e sistemi lineari.
  20. Integrali multipli. Integrali doppi su rettangoli e su domini semplici; formule di riduzione, cambio di variabili nell’integrazione. Integrali multipli e applicazioni. Integrali generalizzati. Integrali di superficie: aree, flussi. Formula di Gauss-Green nel piano, teorema della divergenza, teorema di Stokes.
  21. Spazi funzionali. Spazi di Lagrange. Applicazioni tra spazi metrici e teorema delle contrazioni.
  22. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme, in media quadratica, totale. Cenni alle serie di Fourier.

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